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若函数f(x)在区间(a b)内恒有f(x)≥0(或≤0) 其中只有有限个点处等号成立那么

2022-08-12 13:08:46 问答库阅读 196 次

问题详情

若函数f(x)在区间(a，b)内恒有f'(x)≥0(或≤0)，其中只有有限个点处等号成立，那么f(x)在(a，b)内也必单调增加(或单调减少)吗？

参考答案

是的．若f(x)在(a，b)内恒有f'(x)≥0，任取x'，x''∈(a，b)，不妨设x'＜x''，在(x'，x'')内存在有限个点x₁，x₂，…，x_k，使f'(x_i)=0(i=1，2，…，k)，在其他点处，f'(x)均大于零，则由单调性判别法，可知f(x)在[x'，x₁]，[x₁，x₂]，…，[x_k，x'']上均单调增加，故有f(x')＜f(x₁)＜f(x₂)＜…＜f(x_k-1)＜f(x_k)＜f(x''}，从而f(x)在(a，b)内单调增加．