参考答案

利用微分中值定理可得，ξ∈(a，af(a)k)，使得f(a?f(a)k)-f（a）=f′（ξ）(?f(a)k)．因为当x＞a时，f′（x0）＞k＞0，故f(af(a)k)-f（a）=f′（ξ）?(?f(a)k)＞k?(?f(a)k)=-f（a），从而，f(af(a)k)＞0．又因为f（a）＜0，且f（x）在[a，+∞）上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得，η∈(a，a(a)k)，使得f（η）=0．下面证明η的唯一性．如果存在η1≠η2，使得f（η1）=f（η2）=0，利用罗尔中值定理可得，?ξ∈(a，af(a)k)，使得f′（ξ）=0，这与f′（x）＞k＞0（x＞a）矛盾，故方程f（x）=0在区间(a，a?f(a)k)内有且仅有一个根．