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设f(x)在(0 +∞)内连续 且对x y的一切正实数值满足 f(xy)=f(x)·f(y
问题详情
设f(x)在(0，+∞)内连续，且对x，y的一切正实数值满足
f(xy)=f(x)·f(y)。试证f(x)在(0，+∞)内不恒等于零时，一定为幂函数f(x)=xa，其中a为常数。
变式设函数f(x)在(0，+∞)内连续，对任意x有f(x2)=f(x)，且f(3)=5，求f(x)
数列{xn}存在极限，则其任一子列{xnk}也必定存在极限，且子列的极限等于数列的极限。
从而对于连续函数f(x)则有
。
参考答案
设F(x)=f(ex)，-∞＜x＜+∞，则F(x)在(-∞，+∞)内不恒等于零，且
F(x+y)=f(ex+y)=f(ex·ey)=f(ex)·f(ey)=F(x)·F(y)。
由题(4)可知F(x)=bx，其中b=F(1)＞0，从而
f(ex)=bx。
设y=ex，则y＞0，且存在唯一的a(-∞＜a＜+∞)，使ea=b，于是
f(y)=bx=eax=ya (0＜y＜+∞),即f(x)=xa(0 ＜x＜+∞)。
变式此变式为(1)的特例，由(1)可知当f(x)在(0，+∞)内连续，对任意正数x有f(x2)=f(x)，则f(x)恒为常数，又由于f(3)=5，可知对任意x∈(0，+∞)，有
f(x)=5。
