参考答案

存在性 令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上连续，由于0＜f(x)＜1
F(0)=f(0)-0＞0
F(1)=f(1)-1＜0由连续函数的介值定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使
F(ξ)=f(ξ)-ξ=0即f(ξ)=ξ
唯一性 用反证法,设存在x₁，x₂∈(0，1)，不妨设x₁＜x₂使f(x₁)=x₁，f(x₂)=x₂,则由于f(x)在[x₁，x₂]上满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(x₁，x₂)，使
f(x₂)-f(x₁)=f'(ξ)(x₂-x₁)即x₂-x₁=f'(ξ)(x₂-x₁)，从而，f'(ξ)=1这与f'(x)≠1的条件相矛盾。因此，在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)=x问题可转化为连续函数F(x)=f(x)-x在闭区间的零点问题，欲证存在性，可考虑利用介值定理,欲证唯一性，可考虑是否单调，此处f(x)为抽象函数，难以判定f'(x)的值，因此判定F(x)的单调性有困难，故用反证法