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设函数f(x)和g(x)在(-1 1)内无限次可导且 |f(n)(x)-g(n)(x)|

2022-08-12 11:37:44 问答库阅读 195 次

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设函数f(x)和g(x)在(-1，1)内无限次可导，且
|f⁽ⁿ⁾(x)-g⁽ⁿ⁾(x)|≤N!|x|,|x|＜1,n=0,1,2，…试证：在(-1，1)内f(x)-g(x)恒等于零

由于f(x)和g(x)在(-1，1)内无限次可导，且
|F⁽ⁿ⁾(x)|=|f⁽ⁿ⁾(x)-g⁽ⁿ⁾(x)|≤n!|x|，特别|F⁽ⁿ⁾(0)|≤0，可得知
F⁽ⁿ⁾(0)=0,n,=0,1,2，…
对任意给定x∈(-1，1)，由泰勒公式有