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证明：两个n级对称矩阵的乘积仍为对称矩阵当且仅当它们可交换．请帮忙给出正确答案和分析谢谢！

2022-08-12 03:19:14 问答库阅读 193 次

问题详情

证明：两个n级对称矩阵的乘积仍为对称矩阵当且仅当它们可交换．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：必要性因为A为对称矩阵所以A^T=A同理B^T=B又因为AB为对称矩阵所以(AB)^T=AB又(AB)^T=B^TA^T=B.A所以BA=AB即AB为可交换矩阵充分性A、B为对称矩阵所以A^T=AB^T=B因为A、B可交换所以AB=BA所以AB=A^TB^T=(BA)^T 所以(BA)^T=BA因此BA为对称矩阵．
必要性因为A为对称矩阵,所以AT=A,同理BT=B又因为AB为对称矩阵,所以(AB)T=AB又(AB)T=BTAT=B.A所以BA=AB即AB为可交换矩阵充分性A、B为对称矩阵,所以AT=A,BT=B因为A、B可交换,所以AB=BA所以AB=ATBT=(BA)T所以(BA)T=BA因此BA为对称矩阵．