摘要：高数弧长ds的三种公式s=∫ds=∫sqrt ((dx)^2+ (dy)^2)=∫dx*sqrt (1+ (dy dx)^2)=∫sqrt (1+f& 39;^2 (x))dxsqrt()是根号，()^2是()的平方。ds与dx...

高数弧长ds的三种公式

s=∫ds=∫sqrt ((dx)^2+ (dy)^2)=∫dx*sqrt (1+ (dy/dx)^2)=∫sqrt (1+f'^2 (x))dx

sqrt()是根号，()^2是()的平方。

ds与dx，dy是勾股关系：即dx，dy是两个直角边，ds是弧的微分，把此微弧看做直线段故ds=√(dx+dy)；然后将根号里的两项都除以dt，再在根号外乘以dt就等于没乘没除了，公就是这么来的。

弧长函数（arc length function)，是指量度弧长的函数。设Γ为定义在［a，b]上的可求长曲线，对t∈［a，b]，Γ的参数表示φ对［a，t]的限制所表示的曲线的长度记为L(t)，如此定义的函数L：［a，b]→［0，l]称为弧长函数，这里l是Γ的长度，L是严格增函数。

存在反函数L-1：［0，l]→［a，b]，复合函数φ°L-1：［0，l]→Rn称为Γ的以弧长为参数的表示，弧长参数以s表示，这样，Γ有参数方程x=φ（L-1(s)),s∈［0,l]。每一条可求长曲线都有以弧长为参数的表示，这种表示称为曲线的自然方程。

引入弧度制给我们带来的益处

弧度制的引入使得角的集合与实数R之间建立起了一一对应的关系。虽然用角度制也可以建立对应关系，但由于进位制不同会导致计算不便。而有了弧度制后，每一个角都对应唯一一个实数，即弧度数就是这个实数的角，每一个实数对应唯一一个角的大小。

扩展

弧长公式

l = n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180=α(圆心角弧度数)× r（半径）

在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)

例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为

l=nπr/180

=45×π×1/180

=45×3.14×1/180

约等于0.785

弧长公式推导

弧长的计算公式L＝的推导过程：

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR（R为圆的半径）

所以1°的圆心角所对的弧长是2πR/360，即。

这样n°的圆心角所对的弧长的计算公式是L＝n*2πR/360，也就是l=n°πr÷180°。