摘要：向量平行的公式为：a b→a×b=xn-ym=0空间向量，如果一条直线与一平面平行，那么直线的方向向量与平面的法向量关系：直线方向向量s与平面法向量n的数量...

向量平行的公式为：a//b→a×b=xn-ym=0

空间向量，如果一条直线与一平面平行，那么直线的方向向量与平面的法向量关系：直线方向向量s与平面法向量n的数量积为0。即：sn=0。直线与平面平行时，直线方向向量s与平面法向量n是垂直的关系。

必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。

向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。

向量平行公式的定义

1、对于两个向量a(向量a≠向量0)，向量b，当有一个实数λ，使向量b=λ向量a(记住向量是有方向的)则向量a‖向量b。反之，当向量a‖向量b时，有且只有一个实数λ，能使向量b=λ向量a;

2、当向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)时，当x1y2=x2y1时，向量a‖向量b，反之也成立。

“在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。…若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0”

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线)，记作a∥b。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。

若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0

共线定理：若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使向量a=λ向量b。若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有 x1y2=x2y1 ，与平行概念相同。0向量平行于任何向量。

扩展

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律

① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的向量积运算律

a×b=-b×a

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

a×(b+c)=a×b+a×c.

(a+b)×c=a×c+b×c.