摘要：依据：倍角公式sin2x=2sinxcosx倍角公式推导因为sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB（三角函数）所以sin2A=2sinAcosA三角函数的推导首先建立直角坐标系,在直角坐...

依据：倍角公式

sin2x=2sinxcosx

倍角公式推导

因为sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB（三角函数）

所以sin2A=2sinAcosA

三角函数的推导

首先建立直角坐标系,在直角坐标系xOy中作单位圆O,并作出角a,b,与-b,使角a的开边为Ox,交圆O于点P1,终边交圆O于点P2,角b的始边为OP2,终边交圆O于点P3,角-b的始边为OP1,终边交圆O于点P4.这时P1,P2,P3,P4的坐标分别为：

P1（1,0）

P2(cosa,sina)

P3(cos(a+b),sin(a+b))

P4(cos(-b),sin(-b))

由P1P3=P2P4及两点间距离公式得：

^2表示平方

[cos(a+b)-1]^2+sin^2(a+b)

=[cos(-b)-cosa]^2+[sin(-b)-sina]^2

展开整理得

2-2cos(a+b)

=2-2(cosacosb-sinasinb)

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

根据诱导公式sin(π/2-a)=cosa

得sin(a+b)=cos[π/2-(a+b)]=sinacosb+cosasinb

扩展

半倍角公式

tan(α／2)=(1-cosα）/sinα＝sinα／(1+cosα）;

cot(α／2)=sinα／(1-cosα）=(1+cosα）/sinα；

sin^2(α／2)=(1-cos(α）)/2;cos^2(α／2)=(1+cos(α）)/2;

tan(α／2)=(1-cos(α）)/sin(α）=sin(α）/(1+cos(α）)。

半角公式

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

积化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]