参考答案

正确答案：证：(1)如果将x(n)表示为x(n)=x_r(n)+jx_i(n)则X(k)=DFT[x(n)]=X_ep(k)+X_op(k)其中X_ep(k)=DFT[x_r(n)]是X(k)的共轭对称分量；X_op(k)=DFT[jx_i(n)]是X(k)的共轭反对称分量。所以如果x(n)为实序列则X_op(k)=DFT[jx_i(n)]=0故X(k)=DFT[x(n)]=X_ep(k)即X(k)=X^*(N-k)。(2)由DFT的共轭对称性可知如果x(n)=x_ep(n)+x_op(n)且X(k)=Re[X(k)]+j Im[X(k)]则Re[X(k)]=DFT[x_ep(n)]j Im[X(k)]=DFT[x_op(n)]所以当x(n)=x(N-n)时等价于上式中x_op(n)=0x(n)中只有x_ep(n)成分所以X(k)只有实部即X(k)为实函数。又由(1)证明结果知道实序列的DFT必然为共轭对称函数即X(k)=X^*(N-k)=X(N-k)所以X(k)实偶对称。同理当x(n)=-xz(N-n)时等价于x(n)只有x_op(n)成分(即_ep(n)=0)故X(k)只有纯虚部且由于x(n)为实序列即X(k)共轭对称X(k)=X^*(N-k)=-X(N-k)为纯虚奇函数。
证：(1)如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k)其中,Xep(k)=DFT[xr(n)],是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT[jxi(n)],是X(k)的共轭反对称分量。所以,如果x(n)为实序列,则Xop(k)=DFT[jxi(n)]=0,故X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k),即X(k)=X*(N-k)。(2)由DFT的共轭对称性可知,如果x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=Re[X(k)]+jIm[X(k)]则Re[X(k)]=DFT[xep(n)],jIm[X(k)]=DFT[xop(n)]所以,当x(n)=x(N-n)时,等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分,所以X(k)只有实部,即X(k)为实函数。又由(1)证明结果知道,实序列的DFT必然为共轭对称函数,即X(k)=X*(N-k)=X(N-k),所以X(k)实偶对称。同理,当x(n)=-xz(N-n)时,等价于x(n)只有xop(n)成分(即ep(n)=0),故X(k)只有纯虚部,且由于x(n)为实序列,即X(k)共轭对称,X(k)=X*(N-k)=-X(N-k),为纯虚奇函数。