A-A+
计算求∮∂f/∂n ds其中L为椭圆2x2+y2=1 n为L的外法向量(即指向椭圆外侧的法向
问题详情
计算求∮∂f/∂n ds其中L为椭圆2x2+y2=1，n为L的外法向量(即指向椭圆外侧的法向量)，f(x，y)=(x-2)2+y2
参考答案
首先证明一个公式：∮(?f/?n)ds=∫∫Δfdxdy。由于?f/?n=?f/?x*cos(n,x)+?f/?y*cos(n,y)
，所以(?f/?n)ds=?f/?x*ds*cos(n,x)+?f/?y*ds*cos(n,y)=?f/?x*dy-?f/?y*dx，应用格林公式，有∮(?f/?n)ds=∫∫(?^2f/?x^2*+?^2f/?y^2)dxdy=∫∫Δfdxdy。本题中Δf=2+2=4，故利用上面的公式，所求积分=∫∫4dxdy=4∫∫dxdy，而∫∫dxdy等于积分区域的面积，本题中椭圆面积=πab=(√2/2)π，因此积分=(2√2)π
