参考答案

如果f(x)≡0，则结论显然成立．
如果f(x)≠0，则可以证明，至少存在N+1个点x₁，x₂，…，x_N+1∈(a，b)，x₁＜x₂＜…＜x_N+1，使得f(x)在x_k(k=1，2，…，N+1)的左、右邻域内符号相反．事实上，假设这样的点只有m个，m≤N，不妨设x∈(a，x₁)时，f(x)≥0，x∈(x₁，x₂)时，f(x)≤0，依此类推．令p(x)=(x₁-x)(x₂-x)…(x_m-x)，则当x∈(a，b)时，f(x)p(x)≥0，且f(x)p(x)≠0，于是由f(x)p(x)的连续性知
∫_a^bf(x)p(x)dx＞0 (1)
另一方面，由于p(x)是x的m次多项式，且m≤N，所以由题设条件得
∫_a^bf(x)p(x)dx=0
但这与(1)式相矛盾，因此至少存在N+1个点x₁，x₂，…，x_N+1属于(a，b)，使得f(x)在x_k(k=1，2，…，N+1)的左、右邻域内符号相反．故由f(x)的连续性知f(x₀)=0 (k=1，2，…，N+1)．于是f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点．