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如果函数f(x)在[a b)]上连续 在(a b)内可导 f(x)在(a b)内除有限个使它

2022-08-12 13:06:57 问答库 阅读 196 次

问题详情

如果函数f(x)在[a,b)]上连续,在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)内除有限个使它为零的点外,其他各处均为正,那么f(x)在[a,b]上为单调增加,这个结论对吗?为什么?

参考答案

这个结论是对的.不失一般性,设f'(x)除了在x0∈(a,b)),使f'(x0)=0外,其他点都有f'(x)>0.对于任意的x1,x2∈[a,b],x1<x2,分两种情况讨论.讨论中都使用拉格朗日中值定理.
(1)a≤x1<x2≤x0,或x0≤x1<x2≤b,此时由拉格朗日中值定理,有
f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1), x1<ξ<x2,由f'(ξ)>0知f(x2)>f(x1).
(2)x1<x0<x2,此时也由拉格朗日定理,有
f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(x0)+f(x0)-f(x1)
=f'(ξ1)(x2-x0)+f'(ξ2)(x0-x1),
其中x0<ξ1<x2,x1<ξ2<x0,从而由f'(ξ1)>0,f'(ξ2)>0知f(x2)>f(x1).
综合(1)、(2),知函数在[a,b)]上单调增加.

考点:函数