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如果函数f(x)在[a b)]上连续 在(a b)内可导 f(x)在(a b)内除有限个使它
问题详情
如果函数f(x)在[a，b)]上连续，在(a，b)内可导，f'(x)在(a，b)内除有限个使它为零的点外，其他各处均为正，那么f(x)在[a，b]上为单调增加，这个结论对吗？为什么？
参考答案
这个结论是对的．不失一般性，设f'(x)除了在x0∈(a，b))，使f'(x0)=0外，其他点都有f'(x)＞0．对于任意的x1，x2∈[a，b]，x1＜x2，分两种情况讨论．讨论中都使用拉格朗日中值定理．
(1)a≤x1＜x2≤x0，或x0≤x1＜x2≤b，此时由拉格朗日中值定理，有
f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)， x1＜ξ＜x2，由f'(ξ)＞0知f(x2)＞f(x1)．
(2)x1＜x0＜x2，此时也由拉格朗日定理，有
f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(x0)+f(x0)-f(x1)
=f'(ξ1)(x2-x0)+f'(ξ2)(x0-x1)，
其中x0＜ξ1＜x2，x1＜ξ2＜x0，从而由f'(ξ1)＞0，f'(ξ2)＞0知f(x2)＞f(x1)．
综合(1)、(2)，知函数在[a，b)]上单调增加．
