参考答案

∫_-a^af(x)dx=∫_-a⁰f(x)dx+∫₀^af(x)dx
对积分∫_-a⁰f(x)dx作换元x=-t,则dx=-dt，并且当x=-a时，t=a；x=0时，t=0．因此有
∫_-a⁰f(x)dx=∫_a⁰f(-t)(-dt)=-∫_a⁰f(-t)dt=∫₀^af(-t)dt
由于定积分的积分佰与积分变量的记号诜柽无关．因此
∫₀^af(-t)dt=∫₀^af(-x)dx
于是有
(1)当f(x)是偶函数时，f(-x)=f(x)，所以
∫_-a^af(x)dx=∫₀^af(-x)dx+∫₀^af(x)dx=2∫₀^af(x)dx；
(2)当f(x)是奇函数时，f(-x)=-f(x)，所以
∫_-a^af(x)dx=∫₀^af(-x)dx+∫₀^af(x)dx=0．
这个性质在本章的第一节已经提到，这里利用换元法作了证明．在定积分的计算中，它是简化在对称区间上奇或偶函数积分的一个常用工具．