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验证下列给出的函数是否为所给微分方程的解： (1)y=C1ekx+C2e-kx y+k2
问题详情
验证下列给出的函数是否为所给微分方程的解：
(1)y=C1ekx+C2e-kx，y"+k2y=0(k≠0)；
(2)y=x+Cey，(x-y+1)y'=1．
参考答案
(1)y=C1ekx+C2e-kx，求导y'=C1kekx-C2ke-kx，再求导y"=C1k2ekx+C2k2e-kx．将它们代入方程的左端，得到
(C1k2ekx+C2k2e-kx)+k2(C1ekx+C2e-kx)=2k2(C1ekx+C2e-kx)．
可见当C1与C2不全为零时，左端≠右端，因此所给的函数不是微分方程的解．
(2)本题给出的是隐函数，因此我们要用隐函数求导的方法来验证．y=x+Cey两边关于x求导，得到
y'=1+Ceyy'，
移项得
(1-Cey)y'=1．
由于Cey=y-x，因此
[1-(y-x)]y'=(1+x-y)y'=1，
满足原方程，即所给的隐函数是微分方程的解．
