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设M为R3中的C4正则曲面 x(u1 u2)为其参数表示 P0∈M 且满足：(1)KG(P)
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设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1)KG(P)>0，即P0点的Gauss(总)曲率为正的；(2)在P0点，函数k1达到极大值，同时函数k2达到极小值，则P0为M的脐点．这和以下条件等价：设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1’)P0为非脐点；(2’)在P0点，函数k1达极大值，同时函数k2达极小值．则KG(P0)≤0．
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参考答案
正确答案：(→)已知(1)与(2)．(反证)反设KG(P0)>0由(2)立知P0为脐点这与已知(1’)相矛盾．这就证明了KG(P0)≤0．(←)已知(1’)与(2’)．(反证)反设P0为非脐点由(2)立知KG(P0)≤0这与已知(1)相矛盾．这就证明了P0为M的脐点．
(→)已知(1)与(2)．(反证)反设KG(P0)>0,由(2)立知,P0为脐点,这与已知(1’)相矛盾．这就证明了KG(P0)≤0．(←)已知(1’)与(2’)．(反证)反设P0为非脐点,由(2)立知,KG(P0)≤0,这与已知(1)相矛盾．这就证明了P0为M的脐点．
