参考答案

证 用反证法. 如果对于(Ⅱ)中每个问题β j ，都使向量组α 2 ，α 3 ，…，α r ，β j 线性相关，又因α 2 ，α 3 ，…，α r 线性无关，所以β j (j=1，…，s)可由向量组α 2 ，α 3 ，…，α r 线性表出，又α 1 可由(Ⅱ)线性表出，所以α 1 可由向量组α 2 ，α 3 ，…，α r 线性表出，这与向量组(Ⅰ)线性无关矛盾，故存在(Ⅱ)，使α 2 ，α 3 ，…，α r ，β j 线性无关.注意本题反证法的假定，“在(Ⅱ)中存在一个向量具有性质P”的反面是“(Ⅱ)中每个向量都不具有性质P”。