摘要：三角函数积化和差公式sinα·cosβ=(1 2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1 2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1 2)[cos(α+β)+cos(α-β)]...

三角函数积化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

积化和差记忆口诀

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

解释：

（1）积化和差最后的结果是和或者差；

（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减；

（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；

（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。

两角公式

(1)两角和差公式

sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx

sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

tan(x+y)=sin(x+y)/cos(x+y)=sinxcosy+sinycosx/cosxcosy-sinxsiny=tanx+tany/1-tanxtany

tan(x-y)=sin(x-y)/cos(x-y)=sinxcosy-sinycosx/cosxcosy+sinxsiny=tanx-tany/1+tanxtany

证明：单位圆作图

(2)二倍角公式

sin2x=2sinxcosx

推导：sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx

cos2x=(cosx)²-(sinx)²=2cos²x-1=1-2sin²x (sin²x+cos²x=1)

推导：cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos²x-sin²x

tan2x=sin2x/cos2x=2sinxcosx/cos²x-sin²x=2tanx/1-tan²x

三倍角公式

sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinx(1-sin²x)+(1-2sin²x)sinx=3sinx-4sin³x

cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sinxsin2x=(2cos²x-1)cosx-2cosx(1-cos²x)=4cos³x-3cosx

tan3x=sin3x/cos3x=tanxtan(π/3+x)tan(π/3-x)