摘要：泰勒公式的推导基于泰勒级数，其基本思想是将函数在某个点附近展开为一个无限多项式，这个展开式就称为泰勒级数。 具体地，设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$...

泰勒公式的推导基于泰勒级数，其基本思想是将函数在某个点附近展开为一个无限多项式，这个展开式就称为泰勒级数。

具体地，设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处存在 $n$ 阶导数，那么根据泰勒公式，函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的泰勒级数展开式为：

�(�)=∑�=0��(�)(�)�!(�−�)�+��(�),f(x)=k=0∑nk!f(a)(x−a)k+Rn(x),

其中 $f^{(k)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的 $k$ 阶导数，$k!$ 表示 $k$ 的阶乘，$R_n(x)$ 是剩余项，表示函数 $f(x)$ 与它的泰勒级数展开式之差，满足：

��(�)=�(�)−∑�=0��(�)(�)�!(�−�)�.Rn(x)=f(x)−k=0∑nk!f(a)(x−a)k.

当 $n\to\infty$ 时，剩余项 $R_n(x)$ 的值趋近于零，此时泰勒级数展开式变为：

�(�)=∑�=0∞�(�)(�)�!(�−�)�.f(x)=k=0∑∞k!f(a)(x−a)k.

这个展开式称为函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的泰勒级数。通过泰勒级数展开式，我们可以使用一些简单的代数计算来近似复杂的函数，这是泰勒公式的主要应用。