摘要：积分中值定理：f(x)在a到b上的积分等于(a-b)f(c)，其中c满足a...

积分中值定理：f(x)在a到b上的积分等于(a-b)f(c)，其中c满足a

如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在 [a, b]上至少存在一个点 ξ。

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

通常情况下，积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理，仅就—元函数的积分第一中值定理进行阐述。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法。它是数学中的基本定理和重要工具，在求极限、确定定积分的符号、比较定积分的大小、证明函数的单调性、估计积分值等方面都有重要作用。

值得说明的是，积分第—中值定理在处理—些积分极限时，会显得十分繁琐。

积分中值定理的应用方法

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

运用估计

在大多数的积分式中, 能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角, 当被积函数“积不出”或者原函数很复杂时, 可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函数, 将变化缓慢的部分或积分困难的部分进行估计, 可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法。

不等式证明

积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。