摘要：中间子集个数公式card (A)=m,card (B)=n,m、n∈N+,m^(n-m) (二的（n-m)次方)，X 中,必定包含有A中全部元素,可以包含B中任一元素，也就是对所有包含于...

中间子集个数公式

card (A)=m,card (B)=n,m、n∈N+,m

^(n-m) (二的（n-m)次方)，X 中,必定包含有A中全部元素,可以包含B中任一元素，也就是对所有包含于B但不包含于A的元素（（n-m）个），X可以有，可以没有。总共种类数即为2的n-m次方。

集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

扩展

1、根据子集的定义，我们知道A⊆A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

2、对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集。

说明

若A=∅，则∅⊆A仍成立。 证明：给定任意集合A，要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素；但是，∅没有元素。对有经验的数学家们来说，推论“∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素"是显然的； 但对初学者来说，有些麻烦。

因为∅没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。 为了证明∅不是A的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。 因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A的子集。

对每个子集而言，全集中的每个元素都有两种选择：在这个子集中或者不在。

所以总共有2的n次方个子集。

但是其中有一个是空集。

所以是2的n次方-1。

可用排列组合的方法证明

它的子集个数应为：C1/n+C2/n+C3/n+.....+Cn/n=2的n次方

除去它本身就是：2的n次方-1

card(A)是A中含有的元素的个数！ 首先考虑子集的个数。如果card(A)=n,那么含有一个元素的子集就是在A中选一个元素选法有C(n,1)种 ，接着选两个元素的有C(n,2)种 最后得到c(n,0)+c(n，1)+c(n,2)+……c(n,n)=2^n 这是总的子集的个数，真子集的个数就是2^n-1，非空真子集的个数就是2^n-2

根据二项式定理证的，首先一个有N个元素的集合，它的真子集包括只有一个元素的，两个的，三个的....n个的（n个的不是，但先算上）

所以真子集个数为Cn1+Cn2+.....CnN＝2^n，再减去集合本身那个子集（就是有N个元素那个）所以最后真子集个数为2^n-1