参考答案

方程两边对x求导，得y''(x)=6sin²x-y(x)，即
y''+y=3-3cos2x
这是一个二阶常系数线性非齐次方程，并且满足条件y(0)=1及y'(0)=1。
其对应线性齐次方程的特征方程r²+1=0有一对共轭复根r_1,2=±i，故其对应齐次方程的通解为Y=C₁cosx+C₂sinx。
其自由项f(x)=3-3cos2x可以看成是f₁(x)=3与f₂(x)=-3cos2x之和，所以分别求方程y''+y=3及y''+y=-3cos2x的特解即可。
而f₁(x)=3为P_m(x)e^λx型，且P_m(x)=3为常数，λ=0不是特征方程的根，故特解形式为y^*₁=a，将其代入方程y''+y=3中，得a=3，即y^*₁=3是方程y''+y=3的一个特解。
f₂(x)=-3cos2x为P_m(x)e^λxcosωx型，为求方程y''+y=-3cos2x的一个特解，先求方程y"+y=-3e^2ix的一个特解。
由于λ+ωi=2i不是特征根，故y''+y=-3e^2ix的特解应设为