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已知y1=3 y2=3+x2 y3=3+x2+ex是微分方程 (x2-2x)y-(x2-2

2022-08-12 13:52:49 问答库阅读 196 次

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已知y₁=3，y₂=3+x²，y₃=3+x²+e^x是微分方程
(x²-2x)y''-(x²-2)y'+(2x-2)y=6x-6
的三个特解，求此方程的通解。

根据“两个非齐次的特解之差是对应齐次的一个特解”，可得题设方程对应齐次方程的两个特解分别为
y₂-y₁=x²，y₃-y₂=e^x
并且由于x²与e^x线性无关，可得出对应齐次方程的通解为Y=C₁x²+C₂e^x，从而题设方程的通解为
y=Y+y₁=C₁x²+C₂e^x+3。