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已知方程 (x2-1)y″-2xy+2y=0 (5) 与方程 2yy″-y'2=0
问题详情
已知方程
(x2-1)y″-2xy'+2y=0 (5)
与方程
2yy″-y"2=0 (6)
都有解
y1=(x-1)2 与 y2=(x+1)2，
这两个函数的任意线性组合 y=C1y1+C2y2
是否仍为方程(5)与方程(6)的解？
参考答案
y=C1y1+C2y2是方程(5)的解却不是方程(6)的解(除非C1=0或C2=0)．
方程(5)与方程(6)有本质的不同，前者是齐次的线性方程，后者是非线性方程，我们知道，齐次线性方程解的任意线性组合仍然是齐次线性方程的解，因此y=C1y1+C2y2是方程(5)的解．
而将y=C1y1+C2y2代人方程(6)的左端，得到
2[C1(x-1)2+C2(x+1)2](2C1+2C2)-[2C1(x-1)+2C2(x+1)]2
=16C1C2≠0(除非C1=0或C2=0)．
这说明非线性方程解的线性组合一般不再是它的解.
