参考答案

F(t)=∫₀^tdx∫₀^tdy∫₀^tf(xyz)dz=∫₀^tψ(x,t)dx
其中 ψ(x，t)=∫₀^tdy∫₀^tf(xyz)dz
所以 F'(t)=ψ(t，t)+∫₀^tψ'，(x，t)dx
其中 ψ(t，t)=∫₀^tdy∫₀^tf(tyz)dz
而记 φ(t，x，y)=∫₀^tf(xyz)dz
则 ψ(x，t)=∫₀^tφ(t，x，y)dy
所以 ψ'_t=φ(t，x，t)+∫_a^bφ'_t(t，x，y)dy
φ(t，x，t)=∫₀^tφ_t(t，x，y)dy
φ'_t=f(xyt)
所以 F'(t))=∫₀^tdy∫₀^tf(tyz)dz+∫₀^tdx∫₀^ttf(xzt)dz+∫₀^tdx(xyt)dy
若f'(u)连续，我们考虑：
∫₀^tdx∫₀^tdy∫₀^txyzf'(xyz)dz
=t∫₀^tdx∫₀^tf(xyt)dy-∫₀^tdx∫₀^tdy∫₀^tf(xyz)dz
所以 ∫₀^tdx∫₀^tf(xyt)dy
而 ∫₀^tdx∫₀^tf(xyt)dy=∫₀^tdx∫₀^tf(xtz)dz=∫₀^tdy∫₀^tf(tyz)dz
所以，