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设F(x)=f(x)g(x) 其中函数f(x) g(x)在(-∞ +∞)内满足以下条件:f(

2022-08-12 13:30:14 问答库 阅读 196 次

问题详情

设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x)、g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex

(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.

参考答案

(1)因为:F(x)=f(x)g(x),F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=g2(x)+f2(x)=[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)=4e2x-2F(x),所以,F(x)所满足的一阶微分方程为:F′(x)+2F(x)=4e2x.(2)由(1)知:F′(x)+2F(x)=4e2x,F(x)=e?∫2dx[∫4e2x?e∫2dxdx+C]=e?2x[∫4e4xdx+C]=e2x+Ce-2x.将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得:C=-1.所以:F(x)=e2x-e-2x.

考点:函数,条件