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设F(x)=f(x)g(x) 其中函数f(x) g(x)在(-∞ +∞)内满足以下条件：f(
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设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)、g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式．
参考答案
（1）因为：F（x）=f（x）g（x），F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=g2（x）+f2（x）=[f（x）+g（x）]2-2f（x）g（x）=（2ex）2-2F（x）=4e2x-2F（x），所以，F（x）所满足的一阶微分方程为：F′（x）+2F（x）=4e2x．（2）由（1）知：F′（x）+2F（x）=4e2x，F(x)＝e?∫2dx[∫4e2x?e∫2dxdx+C]=e?2x[∫4e4xdx+C]=e2x+Ce-2x．将F（0）=f（0）g（0）=0代入上式，得：C=-1．所以：F（x）=e2x-e-2x．
