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设f(x)在[0 2]上可导 f(0)=f(2)=1 图 |f(x)|≤1 试证1≤|f
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设f(x)在[0，2]上可导，f(0)=f(2)=1，图，
|f'(x)|≤1，试证1≤|f(x)dx≤3．
参考答案
f(x)-f(0)=f'(c1)(x-0)， c1∈(0，x)
f(x)-f(2)=f'(c2)(x-2)， c2∈(x，2)
又 |f'(x)|≤1
则 1-x≤f(x)=1+f'(c2)x≤1+x， x∈[0，1]
x-1≤f(x)=1+f'(c2)(x-2)≤3-x， x∈[1，2]
∫02f(x)dx≥∫01(1-x)dx+∫12(x-1)dx=1
∫02f(x)dx≤∫01(1+x)dx+∫13(3-x)dx=3本题主要是利用微分中值定理．这也是证明积分不等式的一种常用方法．
