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设f(x)在[0 1]上可导 当0≤x≤1时 0≤f(x)≤1 且对于区间(0 1)内所有x
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设f(x)在[0，1]上可导，当0≤x≤1时，0≤f(x)≤1，且对于区间(0，1)内所有x有f'(x)≠1，求证在[0，1]上有且仅有一个x0，使f(x0)=x0．
参考答案
令F(x)=f(x)-x，则F(1)=f(1)-1≤0，F(0)=f(0)≥0．根据连续函数介值定理，至少存在一点x0∈[0，1]，使F(x0)=0，即f(x0)=x0．以下证明在[0，1]上仅有一点x0，使F(x0)=0，否则，设另有一点x1∈[0，1]，使得F(x1)=0．不妨设x0＜x1，则由罗尔定理可知，在[x0，x1]上至少有一点ξ，使F'(ξ)=0，即f'(ξ)=1，这与题设矛盾．故原题得证．利用罗尔定理估计方程F(x)=0的实根的个数是一种常用方法．一般地，若F(n)(x)≠0，则F(x)=0最多有n个实根．
