A-A+
设f(x)在x=a处可导.又设直线l:y=g(x)=f(a)+k(x-a)过点(a f(a)
问题详情
设f(x)在x=a处可导.又设直线l:y=g(x)=f(a)+k(x-a)过点(a,f(a)),但不是y=f(x)的切线,则不管正数δ多么小,曲线段y=f(x),x∈(a-δ,a+δ),不能位于l的同一侧.
参考答案
(反证法)假定存在δ0>0,使曲线段
y=f(x), x∈(a-δ0,a+δ0)
位于l的同一侧,即或者1):该曲线段位于l的上侧,即
f(x)≥g(x), x∈(a-δ0,a+δ0)
或者2):该曲线段位于l的下侧,即
f(x)≤g(x), x∈(a-δ0,a+δ0)
在1)的情况下,令h(x)=f(x)-g(x)
则 h(x)≥0, x∈(a-δ0,a+δ0)
又h(a)=0,所以a为h(x)的极小值点.
即得h'(a)=0
从而 f'(a)=g'(a)=k
这说明l为f(x)在(a,f(a))处的切线,矛盾.
在2)的情况下,同样可推出矛盾.
综上所述,不管正数δ多小,曲线段
y=f(x),x∈(a-δ,a+δ)
不能位于l的同一侧.