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已知方程 (x2-1)y-2xy+2y=0 (1) 与方程 2yy-y2=0
问题详情
已知方程
(x2-1)y"-2xy'+2y=0 (1)
与方程
2yy"-y'2=0 (2)
都有解 y1=(x-1)2与y2=(x+1)2，这两个函数的任意组合
C1y1+C2y2 (3)
是否仍为方程(1)与方程(2)的解？
参考答案
由于方程(1)是齐次线性方程，因此y=C1y1+C2y2是方程(1)的解．而将y=C1y1+C2y2代人方程(2)的左端，得到
2[C1(x-1)2+C2(x+1)2](2C1+2C2)-[2C1(x-1)+2C2(x+1)]2
=16C1C2≠0 (若(C1C2≠0)．
即，除非C1C2=0，否则y=C1y+C2y2不是方程(2)的解．方程(2)不是线性方程，这说明非线性方程解的组合(3)一般不再是它的解．
