A-A+
设函数f(x)在[0 1]上连续 且它的值域也是[0 1] 证明：至少存在一点ξ∈[0 1]
问题详情
设函数f(x)在[0，1]上连续，且它的值域也是[0，1]，证明：至少存在一点ξ∈[0，1]。使f(ξ)=ξ．(注：点ξ称为函数f(x)的不动点．)
参考答案
令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上连续，且由于
F(0)=f(0)∈[0，1]，F(1)=f(1)-1∈[-1，0]，
故F(0)·F(1)≤0．
若F(0)·F(1)=0，则或者F(0)=0，即存在ξ=0，使f(ξ)=ξ；或者F(1)=0，即存在ξ=1，使f(ξ)=ξ．
若F(0)·F(1)＜0，则由闭区间上连续函数的零点定理，存在ξ∈[0，1]，使F(ξ)=0，即使得f(ξ)=ξ。
