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设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S 都有Sxf(x)dydz−xyf(x) 其中
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设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有Sxf(x)dydz−xyf(x) 其中f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，证明f'(x)=1
参考答案
由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式可得
对于任意的光滑有向封闭曲面S，设Ω为其所围区域，利用高斯公式可得，0=?Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy=±?Ω(xf′(x)+f(x)?xf(x)?e2x)dxdydz．由S的任意性，可得xf′（x）+f（x）-xf（x）-e2x=0，（x＞0）。f'(x)=1
