参考答案

由于f(x)在[0，a]上可导，且f(x)在(0，a)内取得最大值，设最大值点为x₀，则必有
f'(x₀)=0
由题设条件可知f'(x)在[0，x₀]，[x₀，a]上满足拉格朗日中值定理，因此可知存在ξ₁∈(0，x₀)，ξ₂∈(x₀，a)，使得
f'(x₀)-f'(0)=f"(ξ₁)x₀，
f'(a)-f'(x₀)=f"(ξ₂)(a-x₀)，从而-f'(0)=f"(ξ₁)x₀，|f'(0)|=|f"(ξ₁)|x₀≤Mx₀；f'(a)=f"(ξ₂)(a-x₀)，|f'(a)|=|f"(ξ₂)|(a-x₀)≤M(a-x₀)；因此
|f'(0)|+|f'(a)|≤Mx₀+M(a-x₀)=M由题设条件与结论可以看出，需求f"(x)与f'(0)，f'(a)的关系