参考答案

利用反证法
题设f(x)在[a，b]上可导，因此可知f(x)在[a，b]上连续，可知f(x)必定在[a，b]上能取得最大值M，设最大值点为ξ₁，即f(ξ₁)=M,同样f(x)在[a，b]上能取得最小值，记为m，最小值点记为ξ₂，即f(ξ₂)=m
由于f(a)=f(b)=0，可知M≥0，m≤0
1°若ξ₁，ξ₂分别为[a，b]的两个端点，可知M=m=f(a)=f(b)=0
从而可知在[a，b]上恒有f(x)=0
2°若ξ₁，ξ₂中至少有一个不为[a，b]端点，不妨设ξ₁∈(a，b)则由极值的必要条件可知
f'(ξ₁)=0因此
f"(ξ₁)+f'(ξ₁)g(ξ₁)-f(ξ₁)=0，
f"(ξ₁)=f(ξ₁)=M≥f(a)=0如果M＞0，则由极值的第二充分条件可知ξ₁应为f(x)的极小值点，产生矛盾，可知M=0
由于ξ₂在[a，b]的端点，从而m=f(ξ₂)=0即M=m=0由此可知f(x)在[a，b]上恒等于零
相仿可知当ξ₂∈(a，b)时，也应有m=M=0，即在[a，b]上f(x)恒等于零