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设f(x)在[a b]上连续在(a b)内二阶可导联结点(a f(a))与(b f(b)

2022-08-12 11:44:59 问答库阅读 195 次

问题详情

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导,联结点(a，f(a))与(b，f(b))的直线段交曲线y=f(x)于点(c，f(c))，这里a＜c＜b,试证在(a，b)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)=0

参考答案

由题设可知，f(x)在[a，b]上连续，a＜c＜b，因此f(x)在[a，c]，[c，b]上也连续,由于f(x)在(a，b)内二阶可导，因此在(a，c)，(c，b)内也二阶可导，自然存在一阶导数,因此f(x)在[a，c]与[c，b]上都满足拉格朗日中值定理，可知至少存在一点ξ₁∈(a，c)，至少存在一点ξ₂∈(c，b)，使得