A-A+
设f(x)在[a b]上连续 x1 x2 x3.xn∈[a b] 且t1+t2+t3+.+t
问题详情
设f(x)在[a,b]上连续,x1,x2,x3.xn∈[a,b],且t1+t2+t3+.+tn=1,ti>0,i=1,2,3...,n.证明：存在x0∈[a,b],使得f(x0)=t1f(x1) + t2f(x2) + .+ tnf(xn).
利用归结原则证明：lim n→无穷 (1+1/n+1/n^2)^n=e.
参考答案
解：令f(x)=(1+x+x2)^(1/x),则
lim{x→0}f(x)=lim{x→0}[(1+x+x2)^(1/x)]
=lim{x→0}e^[1/x*ln(1+x+x2)]
=e^[lim{x→0}1/x*ln(1+x+x2)]
=e^[lim{x→0}1/x*(x+x2)] 当a→0时,ln(1+a)~a
=e^[lim{x→0}(1+x)]
=e
取x{n}=1/n,则lim{n→∞}x{n}=lim{n→∞}1/n=0
由归结原则可知,lim{n→∞}f[x{n}]=lim{x→0}f(x)
即lim{n→∞}(1+1/n+1/n2)^n=e
