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设f(x)在(-∞ +∞)内连续 且对x y的一切实数值满足 f(x+y)=f(x)+f(
问题详情
设f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对x，y的一切实数值满足
f(x+y)=f(x)+f(y)。试证f(x)在(-∞，+∞)内为线性函数f(x)=ax，其中a=f(1)
参考答案
任取x∈(-∞，+∞)，y=0，由题设可知
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0),因此可得f(0)=0。
又若取y=-x，则由题设可知
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
从而知f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数。
设x=k，k为正整数，由数学归纳法可证得
f(k)=f(1+1+…+1)=kf(1)。
设
