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已知向量组 (Ⅰ)α1 α2 α3 (Ⅱ)α1 α2 α3 α4 (Ⅲ)α1 α2 α
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已知向量组
(Ⅰ)α1，α2，α3 (Ⅱ)α1，α2，α3，α4 (Ⅲ)α1，α2，α3，α5如果向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α4-α5的秩为4．
参考答案
因r(Ⅰ)=3，即α1，α2，α3线性无关，又r(Ⅱ)=3，即α1，α2，α3，α4线性相关，故存在l1，l2，l3使
α4=l1α1+l2α2+l3α3，
若α1，α2，α3，α4-α5线性相关，则有
α5-α4=k1α1+k2α2+k3α3，
即
α5=(l1+k1)α1+(l2+k2)α2+(l3+k3)α3．
这与r(Ⅲ)=4矛盾，故α1，α2，α3，α4-α5线性无关，从而α1，α2，α3，α4-α5的秩为4．
