参考答案

正确答案：A
[分析]本题涉及原函数的基本特性，由于原函数有无穷多个，如何表示它是问题的关键．实际上，只要找出一个原函数，则所有的原函数就可表示出来，而F(x)＝∫0xf(t)dt正好就是所需要的一个原函数．[详解]f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)＝∫0xf(t)dt＋C，于是当f(x)为奇函数时，f(－u)＝－f(u)，从而有即F(x)为偶函数，故应选(A)．至于选项(B)、(C)、(D)，可分别举反例如下：f(x)＝x2是偶函数，但其原函数F(x)＝，不是奇函数，可排除(B)；f(x)＝cos2x是周期函数，但其原函数F(x)＝不是周期函数，可排除(C)；f(x)＝x在区间(－∞，＋∞)内是单调增函数，但其原函数在区间(－∞，＋∞)内非单调增函数，可排除(D)．[评注1]有些考生将原函数写成形如：F(x)＝∫0af(t)dt＋C，结果在推导F(x)＝F(x)时遇到困难，因此特殊形式的原函数∫0xf(t)dt是值得注意的．[评注2]函数的基本性质有：奇偶性、周期性、单凋性和有界性，当f(x)具有某性质时，F(x)是否也具有相应的性质?或反过来考虑，当F(x)具有某性质时，f(x)是否也具有相应的性质?本题也可变形为考虑f(x)与f"(x)(或f"(x)与f(x))的性质之间的关系，对于常见的结论与反例应做到心中有数．