参考答案

正确答案：反证法若ξ₁+ξ₂为A的属于某特征值λ的特征向量则由定义有A(ξ₁+ξ₂)=λ(ξ₁+ξ₂)根据已知Aξ₁=λ₁ξ₁Aξ₂=λ₂ξ₂得Aξ₁+Aξ₂=λ₁ξ₁+λ₂ξ₂=λ(ξ₁+ξ₂)即有 (λ—λ₁)ξ₁+(λ—λ₂)ξ₂=0因为ξ₁ξ₂属于不同的特征值所以ξ₁ξ₂线性无关于是 λ—λ₁=0λ一λ₂=0．亦即有λ=λ₁=λ₂此与题设矛盾故ξ₁+ξ₂不是A的特征向量．
反证法,若ξ1+ξ2为A的属于某特征值λ的特征向量,则由定义有A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2),根据已知Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,得Aξ1+Aξ2=λ1ξ1+λ2ξ2=λ(ξ1+ξ2),即有(λ—λ1)ξ1+(λ—λ2)ξ2=0因为ξ1,ξ2属于不同的特征值,所以ξ1,ξ2线性无关,于是λ—λ1=0,λ一λ2=0．亦即有λ=λ1=λ2,此与题设矛盾,故ξ1+ξ2不是A的特征向量．