参考答案

正确答案：先证(A^HA)⁺=A⁺(A^H)⁺(AA^H)⁺=(A^H)⁺A⁺．设A=BD是A的最大秩分解则A⁺=D^H(DD^H)^－1(B^HB)^－1B^H且不难验证A^HA=D^H (B^HBD)是A^HA的最大秩分解故 (A^HA)⁺=(D^HB^HBD)⁺． =(B^HBD)^H(B^HBDD^HB)^－1(DD^H)^－1D =D^HB^HB(B^HB)^－1(DD^H)^－1(B^HB)^－1(DD^－1)^－1D=[D^H(DD^H)^－1(B^HB)^－1B^H][B(B^HB)^－1(DD^H)^－1D] =A⁺(A^H)⁺同理可证(AA^H)⁺=(A^H)⁺A⁺．再证(A^HA)⁺=A⁺(AA^H)⁺A=A^H(AA^H)+(A^H)⁺．可验证AA^H=B(DD^HB^H)是AA^H的最大秩分解于是有A^H(AA^H)⁺=(BD)^H(DD^HB^H)^H(DD^HB^HBDD^H)^－1(B^HB)^－1B^H =D^H(B^HB)(DD^H)(DD^H)^－1(B^HB)^－1(B^HB)^－1(B^HB)^－1B^H=D^H(DD^H)^－1(B^HB)^－1B^H=A⁺ (A^HA)⁺=A⁺(A^H)⁺=A⁺(A⁺)^H=A⁺[A^H(AA^H)⁺]^H=A⁺[(AA^H)⁺]^HA=A⁺(AA^H)⁺A同理可证(A^HA)⁺=A^H(AA^H)⁺(A^H)⁺．最后证AA⁺=(AA^H)(AA^H)⁺=(AA^H)⁺(AA^H)． (AA^H)⁺AA^H=[B(DD^HB^H)]⁺BDD^HB^H=(DD^HB^H)^H(DD^HB^HBDD^H)^－1(B^HB)^－1B^HBDD^HB^H=B(DD^H)(DD^H)^－1(B^HB)^－1(DD^H)DD^HB^H=BD[D^H(DD^H)^－1(B^HB)^－1B^H]=AA⁺．故有AA⁺=(AA^H)⁺AA^H同理可证AA⁺=AA^H(AA^H)⁺．
先证(AHA)+=A+(AH)+,(AAH)+=(AH)+A+．设A=BD是A的最大秩分解,则A+=DH(DDH)－1(BHB)－1BH,且不难验证AHA=DH(BHBD)是AHA的最大秩分解,故(AHA)+=(DHBHBD)+．=(BHBD)H(BHBDDHB)－1(DDH)－1D=DHBHB(BHB)－1(DDH)－1(BHB)－1(DD－1)－1D=[DH(DDH)－1(BHB)－1BH][B(BHB)－1(DDH)－1D]=A+(AH)+同理可证(AAH)+=(AH)+A+．再证(AHA)+=A+(AAH)+A=AH(AAH)+(AH)+．可验证,AAH=B(DDHBH)是AAH的最大秩分解,于是有AH(AAH)+=(BD)H(DDHBH)H(DDHBHBDDH)－1(BHB)－1BH=DH(BHB)(DDH)(DDH)－1(BHB)－1(BHB)－1(BHB)－1BH=DH(DDH)－1(BHB)－1BH=A+(AHA)+=A+(AH)+=A+(A+)H=A+[AH(AAH)+]H=A+[(AAH)+]HA=A+(AAH)+A,同理可证(AHA)+=AH(AAH)+(AH)+．最后证AA+=(AAH)(AAH)+=(AAH)+(AAH)．(AAH)+AAH=[B(DDHBH)]+BDDHBH=(DDHBH)H(DDHBHBDDH)－1(BHB)－1BHBDDHBH=B(DDH)(DDH)－1(BHB)－1(DDH)DDHBH=BD[DH(DDH)－1(BHB)－1BH]=AA+．故有AA+=(AAH)+AAH,同理可证AA+=AAH(AAH)+．