试证明: (AHA)+=A+(AH)+ (AAH)+=(AH)+A+ (AHA)+=A+
问题详情
试证明: (AHA)+=A+(AH)+, (AAH)+=(AH)+A+, (AHA)+=A+(AAH)+A=AH(AAH)+(AH)+,AA+=(AAH)(AAH)+=(AAH)+(AAH).
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考答案
正确答案:先证(AHA)+=A+(AH)+(AAH)+=(AH)+A+.设A=BD是A的最大秩分解则A+=DH(DDH)-1(BHB)-1BH且不难验证AHA=DH (BHBD)是AHA的最大秩分解故 (AHA)+=(DHBHBD)+. =(BHBD)H(BHBDDHB)-1(DDH)-1D =DHBHB(BHB)-1(DDH)-1(BHB)-1(DD-1)-1D=[DH(DDH)-1(BHB)-1BH][B(BHB)-1(DDH)-1D] =A+(AH)+同理可证(AAH)+=(AH)+A+.再证(AHA)+=A+(AAH)+A=AH(AAH)+(AH)+.可验证AAH=B(DDHBH)是AAH的最大秩分解于是有AH(AAH)+=(BD)H(DDHBH)H(DDHBHBDDH)-1(BHB)-1BH =DH(BHB)(DDH)(DDH)-1(BHB)-1(BHB)-1(BHB)-1BH=DH(DDH)-1(BHB)-1BH=A+ (AHA)+=A+(AH)+=A+(A+)H=A+[AH(AAH)+]H=A+[(AAH)+]HA=A+(AAH)+A同理可证(AHA)+=AH(AAH)+(AH)+.最后证AA+=(AAH)(AAH)+=(AAH)+(AAH). (AAH)+AAH=[B(DDHBH)]+BDDHBH=(DDHBH)H(DDHBHBDDH)-1(BHB)-1BHBDDHBH=B(DDH)(DDH)-1(BHB)-1(DDH)DDHBH=BD[DH(DDH)-1(BHB)-1BH]=AA+.故有AA+=(AAH)+AAH同理可证AA+=AAH(AAH)+.
先证(AHA)+=A+(AH)+,(AAH)+=(AH)+A+.设A=BD是A的最大秩分解,则A+=DH(DDH)-1(BHB)-1BH,且不难验证AHA=DH(BHBD)是AHA的最大秩分解,故(AHA)+=(DHBHBD)+.=(BHBD)H(BHBDDHB)-1(DDH)-1D=DHBHB(BHB)-1(DDH)-1(BHB)-1(DD-1)-1D=[DH(DDH)-1(BHB)-1BH][B(BHB)-1(DDH)-1D]=A+(AH)+同理可证(AAH)+=(AH)+A+.再证(AHA)+=A+(AAH)+A=AH(AAH)+(AH)+.可验证,AAH=B(DDHBH)是AAH的最大秩分解,于是有AH(AAH)+=(BD)H(DDHBH)H(DDHBHBDDH)-1(BHB)-1BH=DH(BHB)(DDH)(DDH)-1(BHB)-1(BHB)-1(BHB)-1BH=DH(DDH)-1(BHB)-1BH=A+(AHA)+=A+(AH)+=A+(A+)H=A+[AH(AAH)+]H=A+[(AAH)+]HA=A+(AAH)+A,同理可证(AHA)+=AH(AAH)+(AH)+.最后证AA+=(AAH)(AAH)+=(AAH)+(AAH).(AAH)+AAH=[B(DDHBH)]+BDDHBH=(DDHBH)H(DDHBHBDDH)-1(BHB)-1BHBDDHBH=B(DDH)(DDH)-1(BHB)-1(DDH)DDHBH=BD[DH(DDH)-1(BHB)-1BH]=AA+.故有AA+=(AAH)+AAH,同理可证AA+=AAH(AAH)+.