设ε1 ε2 … εn是线性空间V的一组基 T是V上的线性变换.证明:T可逆的充分必要条件是
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设ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基,T是V上的线性变换.证明:T可逆的充分必要条件是Tε1,Tε2,…,Tεn线性无关.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考答案
正确答案:先证必要性.若T可逆则存在逆变换T-1使得TT-1=T-1T=E.且T-1也是V的线性变换.如果Tε1Tε2…Tεn线性相关则T-1(Tε1)T-1(Tε2)…T-1(Tεn)即ε1ε2…εn也线性相关这与假设ε1ε2…εn是基相矛盾故Tε1Tε2…Tεn线性无关.下面证充分性.若Tε1Tε2…Tεn线性无关则由于V是n维线性空间所以它也是V的一组基从而对V中任一向量α1存在k1k2…kn使得α1=k1(Tε1)+k2(Tε2)+…+kn(Tεn)=T(k1ε1+k2ε2+…+knεn)即存在α=k1ε1+k2ε2+…+knεn使Tα=α1因此T为V的满射变换.如果又有β=l1ε1+l2ε2+…+lnεn满足Tβ=α1即Tβ=l1Tε1+l2Tε2+…+lnTεn=k1Tε1+k2Tε2+…+knTεn那么因Tε1Tε2…Tεn是基所以l1=k1(i=12…n)即α=β因此T又是单射变换从而T为可逆变换.
先证必要性.若T可逆,则存在逆变换T-1使得TT-1=T-1T=E.且T-1也是V的线性变换.如果Tε1,Tε2,…,Tεn线性相关,则T-1(Tε1),T-1(Tε2),…,T-1(Tεn),即ε1,ε2,…,εn也线性相关,这与假设ε1,ε2,…,εn是基相矛盾,故Tε1,Tε2,…,Tεn线性无关.下面证充分性.若Tε1,Tε2,…,Tεn线性无关,则由于V是n维线性空间,所以它也是V的一组基,从而对V中任一向量α1,存在k1,k2,…,kn,使得α1=k1(Tε1)+k2(Tε2)+…+kn(Tεn)=T(k1ε1+k2ε2+…+knεn),即存在α=k1ε1+k2ε2+…+knεn,使Tα=α1,因此T为V的满射变换.如果又有β=l1ε1+l2ε2+…+lnεn,满足Tβ=α1,即Tβ=l1Tε1+l2Tε2+…+lnTεn=k1Tε1+k2Tε2+…+knTεn,那么,因Tε1,Tε2,…,Tεn是基,所以l1=k1(i=1,2,…,n),即α=β因此,T又是单射变换,从而T为可逆变换.