参考答案

正确答案：(1)由题意可知Tε₁=λ₁ε₁Tε₂=λ₂ε₂因T是线性变换则有T(ε₁+ε₂)=λ₁ε₁+λ₂ε₂．假设ε₁+ε₂是T的特征向量与之对应的特征值为λ则T(ε₁+ε₂)=λ(ε₁+ε₂)故有T(ε₁+ε₂)=λ(ε₁+ε₂)=λ₁ε₁+λ₂ε₂．即(λ－λ₁)ε₁+(λ－λ₂)ε₂=0因λ₁λ₂是T的两个不同的特征值故ε₁ε₂线性无关由此可得λ=λ₁=λ₂矛盾假设不成立．故ε₁+ε₂不是T的特征向量．(2)取V的一组基ε₁ε₂…ε_n由题意可设Tε_i=λ_iε_ii=01…n．对任意i=01…n若λ₁≠λ₂则由(1)得ε₁+ε₂不是T的特征向量与题设不符故λ_i=λ₁ i=12…n．因此Tε_i=λ₁ε_ii=01…n对V中任意向量α=k₁ε₁+k₂ε₂+…+k_nε_n有Tα=k₁Tε₁+k₂Tε₂…+k_nTε_n=k₁λ₁ε₁+k₂λ₂ε₂+…+k_nλ₁ε_n=λ₁α．所以T=λ₁E是数乘变换．
(1)由题意可知Tε1=λ1ε1,Tε2=λ2ε2,因T是线性变换,则有T(ε1+ε2)=λ1ε1+λ2ε2．假设ε1+ε2是T的特征向量,与之对应的特征值为λ,则T(ε1+ε2)=λ(ε1+ε2),故有T(ε1+ε2)=λ(ε1+ε2)=λ1ε1+λ2ε2．即(λ－λ1)ε1+(λ－λ2)ε2=0,因λ1,λ2是T的两个不同的特征值,故ε1,ε2线性无关,由此可得λ=λ1=λ2矛盾,假设不成立．故ε1+ε2不是T的特征向量．(2)取V的一组基ε1,ε2,…,εn,由题意可设Tεi=λiεi,i=0,1,…,n．对任意i=0,1,…,n,若λ1≠λ2则由(1)得,ε1+ε2不是T的特征向量,与题设不符,故λi=λ1,i=1,2,…,n．因此,Tεi=λ1εi,i=0,1,…,n对V中任意向量α=k1ε1+k2ε2+…+knεn,有Tα=k1Tε1+k2Tε2…+knTεn=k1λ1ε1+k2λ2ε2+…+knλ1εn=λ1α．所以T=λ1E是数乘变换．