A-A+

方阵A称为幂零矩阵 如果A的某个正整数次幂等于零矩阵 使A1=0成立的最小正整数Z称为A的幂

2022-08-12 03:34:18 问答库 阅读 193 次

问题详情

方阵A称为幂零矩阵,如果A的某个正整数次幂等于零矩阵,使A1=0成立的最小正整数Z称为A的幂零指数.证明:与幂零矩阵相似的矩阵仍是幂零矩阵,并且其幂零指数相同.


请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

参考答案

正确答案:若A为幂零矩阵且A~B则存在可逆方阵P使P-1AP=B当t=0时Al=Bl=I从而Al~Bl当Al≠20时(P-1AP)l=Bl即P叫A-1P=Bl所以Al~Bl即存在可逆矩阵P使得Bl=P-1AlP=0所以B仍为幂零矩阵.但是当k为小于l的正整数时Ak≠0且Bk一P-1AkP由于相似矩阵的秩相同所以Bk≠O命题得证.
若A为幂零矩阵,且A~B则存在可逆方阵P,使P-1AP=B,当t=0时,Al=Bl=I,从而Al~Bl,当Al≠20时(P-1AP)l=Bl,即P叫A-1P=Bl,所以Al~Bl,即存在可逆矩阵P使得Bl=P-1AlP=0,所以B仍为幂零矩阵.但是当k为小于l的正整数时,Ak≠0,且Bk一P-1AkP,由于相似矩阵的秩相同,所以Bk≠O,命题得证.

考点:矩阵,方阵