参考答案

正确答案：若A为幂零矩阵且A～B则存在可逆方阵P使P^-1AP=B当t=0时A^l=B^l=I从而A^l～B^l当A^l≠20时(P^-1AP)^l=B^l即P叫A^-1P=B^l所以A^l～B^l即存在可逆矩阵P使得B^l=P^-1A^lP=0所以B仍为幂零矩阵．但是当k为小于l的正整数时A^k≠0且B^k一P^-1A^kP由于相似矩阵的秩相同所以B^k≠O命题得证．
若A为幂零矩阵,且A～B则存在可逆方阵P,使P-1AP=B,当t=0时,Al=Bl=I,从而Al～Bl,当Al≠20时(P-1AP)l=Bl,即P叫A-1P=Bl,所以Al～Bl,即存在可逆矩阵P使得Bl=P-1AlP=0,所以B仍为幂零矩阵．但是当k为小于l的正整数时,Ak≠0,且Bk一P-1AkP,由于相似矩阵的秩相同,所以Bk≠O,命题得证．