参考答案

正确答案：设η₁η₂……η_r是方程组Ax=0的一个基础解系α₁α₂……α_t是与η₁η₂……η_r等价的线性无关的向量组由量组的等价关系知这两个向量组所含向量个数相等即t=r．且α_i可以表示成η₁η₂……η_r的线性组合(i=12…r)而解的线性组合仍是方程组的解故α₁α₂……α_r都是Ax=0的解．由题设知α₁α₂……α_r线性无关．设叩为方程组Ax=0的任一解则η可由η₁η₂……η_r线性表示由向量组的等价性η₁η₂……η_r均可由α₁α₂……α_r线性表示故η也可由α₁α₂……α_r线性表示．故由定义知α₁α₂……α_r也是方程组Ax=0的一个基础解系．(注：当线性方程组Ax=0有非零解时基础解系的取法不唯一且不同的基础解系之间是等价的．)
设η1,η2,……ηr是方程组Ax=0的一个基础解系,α1,α2……αt是与η1,η2,……ηr等价的线性无关的向量组,由量组的等价关系知这两个向量组所含向量个数相等,即t=r．且αi可以表示成η1,η2,……ηr的线性组合(i=1,2,…,r),而解的线性组合仍是方程组的解,故α1,α2……αr都是Ax=0的解．由题设知α1,α2……αr线性无关．设叩为方程组Ax=0的任一解,则η可由η1,η2,……ηr线性表示,由向量组的等价性,η1,η2,……ηr均可由α1,α2……αr线性表示,故η也可由α1,α2……αr线性表示．故由定义知α1,α2……αr也是方程组Ax=0的一个基础解系．(注：当线性方程组Ax=0有非零解时,基础解系的取法不唯一,且不同的基础解系之间是等价的．)