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数域K上的n个方程的n元线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β对任何β∈Kn都有解的
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数域K上的n个方程的n元线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β对任何β∈Kn都有解的充分必要条件是它的系数行列式|A|≠0.
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参考答案
正确答案:设对于任何β∈Kn线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β均有解.设ε1ε2…εn为Kn的一个组基则由条件方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=εi(i=12…n)均有解即εi均可由α1α2……αn线性表示.所以rank(α1α2……αn。)≥rank(ε1ε2…εn)=n即rank(α1α2……αn)≥n.另一方面由于αi∈Kn(i=12…n)所以rank(α1α2……αn)≤n.所以rank(α1α2……αn)=n即α1α2……αn线性无关.从而|A|≠0.反之若|A|=0则线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=ββ∈Kn的系数行列式不为零.根据克莱姆法则知方程组必有解.
设对于任何β∈Kn,线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β均有解.设ε1,ε2,…,εn为Kn的一个组基,则由条件方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=εi(i=1,2,…,n)均有解,即εi均可由α1,α2……αn线性表示.所以,rank(α1,α2……αn。)≥rank(ε1,ε2,…,εn)=n,即rank(α1,α2……αn)≥n.另一方面,由于αi∈Kn(i=1,2,…,n),所以rank(α1,α2……αn)≤n.所以rank(α1,α2……αn)=n,即α1,α2……αn线性无关.从而|A|≠0.反之,若|A|=0,则线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β,β∈Kn的系数行列式不为零.根据克莱姆法则知方程组必有解.