参考答案

正确答案：一定存在ξ∈(x₀x₁)使f"(ξ)=0则f(ξ)=f"(ξ)；若f(ξ)＞0则f"(ξ)＞0ξ应为f(x)的极小值点但f(ξ)＞0=f(x₀)=f(x₁)矛盾；若f(ξ)＜0则f"(ξ)＜0ξ应为f(x)的极大值点但f(ξ)＜0=f(x₀)=f(x₁)矛盾。故只能f(ξ)=0即f"(ξ)=0再对[x₀ξ]及[ξx₁]应用以上结论反复使用知f(x)在[x₀x₁]上恒等于0。
一定存在ξ∈(x0,x1),使f"(ξ)=0,则f(ξ)=f"(ξ)；若f(ξ)＞0,则f"(ξ)＞0,ξ应为f(x)的极小值点,但f(ξ)＞0=f(x0)=f(x1),矛盾；若f(ξ)＜0,则f"(ξ)＜0,ξ应为f(x)的极大值点,但f(ξ)＜0=f(x0)=f(x1),矛盾。故只能f(ξ)=0,即f"(ξ)=0,再对[x0,ξ]及[ξ,x1]应用以上结论,反复使用,知f(x)在[x0,x1]上恒等于0。