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设函数f(x)定义在[-α α]上 证明： (1)F(x)=f(x)+f(-x) x∈[-α
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设函数f(x)定义在[-α，α]上，证明： (1)F(x)=f(x)+f(-x)，x∈[-α，α]为偶函数； (2)G(x)=f(x)-f(-x)，x∈[-α，α]为奇函数； (3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。
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参考答案
正确答案：(1)F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=F(x)且F(x)的定义域为[-αα]关于原点对称所以F(x)是偶函数。(2)G(-x)=f(-x)-f(-(-z))=f(-x)-f(x)=-G(x)且G(x)的定义域为[-αα]关于原点对称所以G(x)是奇函数。(3)f(x)=(1/2)F(x)+(1/2)G(x)。
(1)F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=F(x),且F(x)的定义域为[-α,α]关于原点对称,所以,F(x)是偶函数。(2)G(-x)=f(-x)-f(-(-z))=f(-x)-f(x)=-G(x),且G(x)的定义域为[-α,α]关于原点对称,所以,G(x)是奇函数。(3)f(x)=(1/2)F(x)+(1/2)G(x)。
