参考答案

正确答案：1)存在性．由于(mn)=1故存在整数st使ms+nt=1． (1)令b=a^ntc=a^ms则显然a=bc=cb．又b^m=(a^nt)^m=(a^mn)^t=e；若又有b^r=e则a^rnt=e．但是|a|=mn故mn|rnt m|rt．又由(1)知(mt)=1故m|r．因此|b|=m．同理可证|c|=n．2)惟一性．设另有b₁c₁使a=b₁c₁=c₁b₁|b₁|=m|c₁|=n则 a^nt=b₁^ntc₁^nt=b₁^nt (2)但由(1)知nt=1一ms故b₁^nt=b₁^1-ms=b₁(b₁ms)^-1=b₁．从而由(2)知b₁=a^nt=b．由b₁=b又得c₁=b₁^-1a=a^-nta=a^1-nt=a^ms=c．即b₁=bc₁=c.
1)存在性．由于(m,n)=1,故存在整数s,t使ms+nt=1．(1)令b=ant,c=ams,则显然a=bc=cb．又bm=(ant)m=(amn)t=e；若又有br=e,则arnt=e．但是|a|=mn,故mn|rnt,m|rt．又由(1)知(m,t)=1,故m|r．因此|b|=m．同理可证|c|=n．2)惟一性．设另有b1,c1使a=b1c1=c1b1,|b1|=m,|c1|=n,则ant=b1ntc1nt=b1nt(2)但由(1)知,nt=1一ms,故b1nt=b11-ms=b1(b1ms)-1=b1．从而由(2)知,b1=ant=b．由b1=b又得c1=b1-1a=a-nta=a1-nt=ams=c．即b1=b,c1=c.