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设G为数域F上某些n阶方阵对于方阵的普通乘法作成的一个群．证明：G中的方阵或者全是满秩的 或
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设G为数域F上某些n阶方阵对于方阵的普通乘法作成的一个群．证明：G中的方阵或者全是满秩的，或者全是降秩的．请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考答案
正确答案：若G中的方阵全是降秩的结论成立；若G中有方阵A是满秩的则任取X∈G由于G对方阵的普通乘法作成群故有方阵Y∈G使XY=A．从而|X|.|Y|=|A|≠0于是|X|≠0即方阵X是满秩的．由X的任意性知G中的方阵全是满秩的．
若G中的方阵全是降秩的,结论成立；若G中有方阵A是满秩的,则任取X∈G,由于G对方阵的普通乘法作成群,故有方阵Y∈G使XY=A．从而|X|.|Y|=|A|≠0,于是|X|≠0,即方阵X是满秩的．由X的任意性知,G中的方阵全是满秩的．
